Vài câu đố vui!

Hôm trước, rảnh rỗi đọc vài câu đố trong cuốn Mathematical Puzzles: A Connoisseur’s Collection, post lên đây cho vui.

1. Có 100 hộp được đánh dấu từ 1 đến 100. Có 100 học sinh. Người thứ nhất mở tất cả các hộp. Người thứ hai đóng tất cả những hộp chẵn (hộp đánh dấu 2, 4, ….). Người thứ ba đóng (nếu hộp đang mở) hoặc mở (nếu hộp đang đóng) tất cả nhưng hộp có đánh dấu chia hết cho ba. Tiếp tục như vậy cho đến thứ 100. Hỏi hộp nào là mở?

(There are 100 boxes numbered from 1 to 100 and 100 students. The first student opens all the boxes. The second student then goes through and re-closes all the even-numbered boxes. The third student changes the state of every box whose number is a multiple of 3. This continues until 100 students have passed through. Which boxes are now open?)

2. Cho 25 số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng ta có thể chọn hai số x và y trong số 25 số sao cho không có số còn lại nào bằng tổng hoặc hiệu của x và y.

(Given 25 different positive numbers, prove that yoư can choose two of them such that none of the other numbers equal either their sum or their difference)

3. David and Dorothy have devised a clever card trick. While David looks away, a stranger selects five cards from a bridge deck and hands them to Dorothy. She looks them over, pulls one out, and hands the remainder to David. David now correctly guesses the identity of the pulled card.

How do they do it.

4. Câu này khá vui. Hỏi ta có thể đẩy một hình lập phương xuyên qua một cái lổ ở trong một hình lập phương nhỏ hơn?

(Can you pass a cube through a hole in a smaller cube?)

5. Câu này 1 giây. Làm sao có thể gọi một cuộc điện thoại từ một tiểu bang ở bờ Đông của nước Mỹ sang một tiểu bang ở bờ Tây của nước Mỹ khi cả hai cùng một thời gian.

(A phone call is made from an East Coast state to a West Coast state, and it’s the same time of day at both ends. How can this be?)

Ghi chú: Ở nước Mỹ có 4 múi giờ khác nhau và có Daylight saving.

Nam Says:

Tháng Một 8, 2010 at 2:23 chiều

Câu 1
Đầu tiên làm với n nhỏ nhỏ để đưa ra nhận xét, thì thấy rằng số lần đóng/mở của một hộp chính bẳng số ước của (số thứ tự) hộp đó.
Đặt m là số thứ tự của một hộp bất kỳ. Vì lần đầu tiên tất cả các hộp được mở, nên hộp m được mở cuối cùng khi và chỉ khi số ước số của m là lẻ. Do đó, các hộp được mở cuối cùng sẽ là các hộp có số lẻ ước số.
Để ý rằng 1 số có số lẻ ước số khi và chỉ khi số đó là số chính phương (why? :D), nên các hộp được mở cuối cùng sẽ là 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Trả lời

Dũng Says:

Tháng Một 8, 2010 at 5:53 chiều

Câu 2.

Giả sử trong 25 số không có hai số $x$ , $y$ nào thỏa mãn. Nếu gọi 25 số đó là $a_1<a_2$ $< \dots <a_{25}$ thì $a_{25} + a_i$ không là bất cứ số nào với $latex 0 a_{25}$ không là bất cứ số nào với $i>1$ nên $a_{24} - a_i$ là một số đã cho. Dễ dàng thấy $a_{24} = a_1 + a_{23} = a_2 + a_{22} = \dots$ Mẫu thuẫn với giả thiết ban đầu xảy ra khi chọn $x$ , $y$ là $a_{24}$ và $a_{12}$ .

Bài toán có thể tổng quát hóa với số số là $n>3$ .

thaitramy Says:

Tháng Một 9, 2010 at 10:43 chiều

Câu 1: Chính xác 🙂

Câu 2: Con số 25 là để fool người đọc 🙂

Hình như lúc Dũng đánh latex bị lổi nên lời giải hơi khó đọc. Tôi viết lại như sau:

Giả sử trong $n$ không có hai số $x, y$ nào thỏa mãn. Gọi $n$ số đó là $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ . Vì $a_n$ không là số thỏa mãn, nên với mổi số nhỏ hơn $a_i$ , tồn tại một số $a_j$ sao cho $a_i + a_j = a_n$ . Như vậy, $n - 1$ số đầu tiên phải đi cặp với nhau: $a_i + a_{n-i-1} = a_n$ . Tương tự, xét $a_{n-1}$ . Ta dễ dàng thấy $a_2, \dots, a_{n-2}$ phải đi cặp với nhau: $a_{2+i} + a_{n-2-i} = a_{n -1}$ . Như vậy, $a_{(n-1)/2}$ đi cặp với chính nó. Vậy ta có thể chọn hai số $a_{(n-1)/2}, a_{n-1}$ , mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.